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電験三種/電力/過去問解説:2015年(平成27)問16☆三相3線式変電設備の無効電力と電圧降下を求める(計算)

問題文と解答

出典:一般財団法人電気技術者試験センター/平成27年度第三種電気主任技術者試験電力科目B問題問16

図は、三相3線式変電設備を単線図で表したものである。

現在、この変電設備は、a点から3800kV・A、遅れ力率0.9の負荷Aと、b点から2000kW、遅れ力率0.85の負荷Bに電力を供給している。b点の線間電圧の測定値が22000Vであるとき、次の(a)及び(b)の問に答えよ。
なお、f点とa点の間は400m、a点とb点の間は800mで、電線1条当たりの抵抗とリアクタンスは1km当たり0.24Ωと0.18Ωとする。また、負荷は平衡三相負荷とする。

(a)負荷Aと負荷Bで消費される無効電力の合計値[kvar]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)2710(2)2900(3)3080(4)4880(5)5120

(b)f-b間の線間電圧の電圧降下\(V_{fb}\)の値[V]として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、送電端電圧と受電端電圧との相差角が小さいとして得られる近似式を用いて解答すること。

(1)23(2)33(3)59(4)81(5)101

(a)

(b)
\(V_{fb}=V_{fa}+V_{ab}[V]\)
\(V_{fa}=\sqrt{3}(I_A+I_B)(R_{fa}cosθ_A+X_{fa}sinθ_A)[V]\)
\(V_{ab}=\sqrt{3}I_B(R_{ab}cosθ_B+X_{ab}sinθ_B)[V]\)

\(V_{fb}\)を求めるためには、\(V_{fa}\)と\(V_{ab}\)に分けて求めるのがポイントです♪

(a):(2)
(b):(3)

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解説

動画解説

電験三種/電力/過去問解説☆三相3線式変電設備の無効電力と電圧降下(計算)【2015年(平成27年)問16】
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(a)負荷Aと負荷Bで消費される無効電力の合計値[kvar]

手順1:何を求めるのか整理しよう

\内容を整理/
  • 求めるのは、負荷Aと負荷Bで消費される無効電力の合計値[kvar]
  • (三相3線式の)無効電力Qの公式
     \(Q=\sqrt{3}VIsinθ[kvar]\)

手順2:三相3線式変電設備を単線図に情報を記入しよう

問題文の記述内容を単線図に記入しましょう。図に記入しながら解き進めていくと、頭の中が整理されて答えを導きやすくなります。

・b点の線間電圧22000V
・fa間、ab間の抵抗とリアクタンス
について記入していますが、(a)では使用しません。

負荷Aが皮相電力、負荷Bが有効電力
の記入が重要です。皮相電力[kV・A]と有効電力[kW]の判断基準は単位です。

手順3:無効電力を求めよう

無効電力の公式は、\(Q=\sqrt{3}VIsinθ[kvar]\)でしたが、\(Q=Ssinθ[kvar]\)と変換することができます。(手順1にある電力の三角形の図をご確認下さい)

【負荷Aの無効電力】
\(sinθ_A\)がわからないので、最初に\(sinθ_A\)を求めましょう。
\(sinθ_A=\sqrt{1-cos^2θ_A}\)
    \(=\sqrt{1-0.9^2}\)
    \(=\sqrt{0.19}≒0.436\)

あとは、公式\(Q=Ssinθ[kvar]\)に代入するだけです。
\(Q_A=S_Asinθ_A\)
  \(=3800 × 0.436\)
  \(≒1657[kvar]\)

【負荷Bの無効電力】
負荷Bは有効電力P[kW]と力率cosθから、皮相電力S[kV・A]とsinθを求めてから、無効電力Q[kvar]を求めましょう。

電力の三角形より、\(P=Scosθ\)となるので、

\(S_B={\Large\frac{P_B}{cosθ_B}}\)
  \(={\Large\frac{2000}{0.85}}\)
  \(≒2352.94[kV・A]\)

となります。次に、\(sinθ_B\)を求めましょう。
\(sinθ_B=\sqrt{1-cos^2θ_B}\)
   \(=\sqrt{1-0.85^2}\)
   \(=\sqrt{0.2775}≒0.527\)

あとは、公式\(Q=Ssinθ[kvar]\)に代入するだけです。
\(Q_B=S_Bsinθ_B=2352.94 × 0.527≒1240[kvar]\)

【無効電力の合計値】
計算して求めた負荷A、負荷Bの無効電力を足し算しましょう♪
\(Q_A+Q_B=1657+1240=2897[kvar]\)
となり、最も近い(2)2900が正解です。

f-b間の線間電圧の電圧降下\(V_{fb}\)の値[V]

手順1:何を求めるのか整理しよう

\内容を整理/
  • 求めるのは、f-b間の線間電圧の電圧降下\(V_{fb}[V]\)
  • (三相3線式の)電圧降下の公式
     \(V_{fb}=V_{fa}+V_{ab}[V]\)
     \(V_{fa}=\sqrt{3}(I_A+I_B)(R_{fa}cosθ_A+X_{fa}sinθ_A)[V]\)
     \(V_{ab}=\sqrt{3}I_B(R_{ab}cosθ_B+X_{ab}sinθ_B)[V]\)

    \(V_{fb}\)を求めるためには、\(V_{fa}\)と\(V_{ab}\)に分けて求めるのがポイントです♪

    解き方のパターンは決まっているので、覚えてしまえば必ず得点源になります。解けなかった方は何度も解きなおしましょう!

手順2:a-b間の線間電圧の電圧降下\(V_{ab}\)を求めよう

電圧降下\(V_{ab}\)は、
\(V_{ab}=\sqrt{3}I_B(R_{ab}cosθ_B+X_{ab}sinθ_B)\)で求めることができますが、\(I_B\)がわからないので、最初に\(I_B\)を求めましょう。

【\(I_B\)を求める】
有効電力\(P_B\)と線間電圧\(V_B\)、力率\(cosθ_B\)がわかっているので、
\(P_B=\sqrt{3}V_BI_Bcosθ_B\)より、

\(I_B={\Large\frac{P_B}{\sqrt{3}V_Bcosθ_B}}\)

   \(={\Large\frac{2,000,000}{\sqrt{3}×22,000×0.85}}≒61.75[A]\)

【電圧降下\(V_{ab}\)を求める】
\(V_{ab}=\sqrt{3}I_B(R_{ab}cosθ_B+X_{ab}sinθ_B)\)
  \(=\sqrt{3}×61.75(0.192×0.85+0.144×0.527)\)
  \(=\sqrt{3}×61.75×0.239\)
  \(=25.56[V]\)

手順3:f-a間の線間電圧の電圧降下\(V_{fa}\)を求めよう

電圧降下\(V_{fa}\)は、
\(V_{fa}=\sqrt{3}(I_A+I_B)(R_{fa}cosθ_A+X_{fa}sinθ_A)\)で求めることができますが、\(I_A\)がわからないので、最初に\(I_A\)を求めましょう。

【\(I_A\)を求める】
皮相電力\(S_A\)がわかっていますが、線間電圧\(V_A\)がわからないので、\(V_A\)を求めましょう。
手順2で求めた電圧降下は
\(V_A-V_B=V_{ab}\)と表せるので、
\(V_A=22,000+25.56=22025.56[V]\)
となります。

皮相電力は
\(S_A=\sqrt{3}V_AI_A\)と表せるので、

\(I_A={\Large\frac{S_A}{\sqrt{3}V_A}}\)
   
  \(={\Large\frac{3,800,000}{\sqrt{3}×22025.56}}=99.6[A]\)

【電圧降下\(V_{fa}\)を求める】
\(V_{fa}=\sqrt{3}(I_A+I_B)(R_{fa}cosθ_A+X_{fa}sinθ_A)\)
  \(=\sqrt{3}(99.6+61.75)(0.096×0.9+0.072×0.436)\)
  \(=\sqrt{3}×161.35×0.117792\)
  \(≒32.92[V]\)

手順4:f-b間の線間電圧の電圧降下\(V_{fb}\)を求めよう

手順2と3で求めた、\(V_{ab}\)と\(V_{fa}\)を足し算しましょう!
\(V_{fb}=V_{fa}+V_{ab}\)
  \(=32.92+25.56\)
  \(=58.48[V]\)

となり、最も近い(3)59が正解です。

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